Matematika

Teka-teki klasik favorit:)

Pada suatu hari Otong ingin pergi ke kota Parotong. Di pertigaan jalan, Otong bertemu dengan dua orang. Orang yang satu berasal dari kota Jujur, semua orang dari kota tersebut mengatakan yang sebenarnya, dan orang yang satu lagi berasal dari kota Bohong, dimana penduduk kota tersebut berbicara negasi dari keadaan yang sebenarnya. Karena Otong tidak tahu jalan, Otong memutuskan untuk bertanya kepada salah seorang diantara keduanya. Sayangnya, Otong tidak tahu siapa yang berasal dari kota Jujur dan siapa yang berasal dari kota Bohong. Jika Otong hanya boleh bertanya satu kali, pertanyaan apa yang harus diajukan Otong?

NB: asumsi yang digunakan, kedua orang tersebut mengetahui letak kota Parotong.

Popularity: 36%

Ketika saya masih berstatus sebagai mahasiswa Matematika, seorang Bapak menyapa, “Wah mahasiswa kok jalannya lemas, yang semangat dong.” Mendengar sapaan yang tiba-tiba tersebut, saya terkejut. Belum usai keterkejutan saya, bapak tersebut melanjutkan sapaannya dengan menanyakan jurusan saya. “Matematika, Pak,” jawab saya. “Pantas jalannya lemas, kebanyakan melihat angka sih,” balas bapak tersebut sambil tersenyum. Sayangnya, saat saya hendak memberikan tanggapan, kami berpisah jalan.

Tanggapan serupa sering saya peroleh ketika berkenalan dengan seseorang dan kemudian menanyakan jurusan saya. Umumnya mereka menganggap matematika pelajaran yang mengerikan dan memiliki prospek kerja yang suram. Namun pandangan matematika sebagai pelajaran yang mengerikan tak dimulai dari bangku kuliah, siswa SMP-SMA pun acap menempatkan matematika sebagai pelajaran yang menjadi momok menakutkan. Suka atau tidaknya seseorang terhadap suatu bidang ilmu sebenarnya sangat personal, seperti pilihan seseorang terhadap jenis musik ataupun warna favorit, tapi ketika pandangan itu menjadi “paradigma umum”, muncul pertanyaan: ada apa dengan matematika?

Merujuk penelitian yang dilakukan oleh Angie Siti Anggari mengenai metode pembelajaran matematika, diperoleh hasil bahwa alat-alat peraga mampu menjembatani jurang ’dunia abstraksi matematika’ dengan ’dunia nyata.’ Alat-alat peraga juga merubah posisi siswa dari pengamat menjadi pelaku. Jika dalam sistem pendidikan konvensional, suasana kelas lebih banyak berlangsung satu arah, sehingga siswa hanya mendengarkan guru menerangkan, maka dengan sistem dua arah ini, siswa juga terlibat dalam proses berpikir. Sistem dua arah ini juga mengimplikasikan adanya kesejajaran antara guru dan siswa. Akibatnya, kelas yang pada mulanya hanya memiliki dua jenis himpunan yaitu siswa dan bukan siswa(yakni guru), atau orang yang tidak tahu dan orang yang tahu, kini memiliki variabel beragam. Dalam sistem baru ini, siswa tak bisa lagi dipandang sebagai himpunan yang seragam, karena daya tangkap dan gaya berpikir tiap siswa unik.

Popularity: 25%

Salah satu anggapan yang sering kali muncul dalam matematika adalah matematika hanya memiliki sebuah jawaban tunggal. Anggapan tersebut berimbas pada sepupu saya yang masih duduk di Sekolah Dasar. Pada suatu hari tante saya mengisahkan bahwa anaknya disalahkan karena mengatakan 4 x 5 sebagai ada 5 bilangan 4. Gurunya bersikeras bahwa 4 x 5 adalah ada 4 bilangan 5. Agar belajar matematika menjadi mudah, mungkin pengajaran dilakukan dengan memandang angka didepan sebagai banyaknya jumlah bilangan yang hendak dijumlahkan, sehingga 4 x 5 = 5 + 5 + 5 + 5, namun hal yang terlupa adalah bahwa perkalian memiliki sifat komutatif( a x b = b x a), sehingga kalaupun pendekatan tersebut mau diterapkan maka berlaku juga hubungan sebagai berikut: 5 + 5 + 5 + 5 = 4 x 5 = 5 x 4 = 4 + 4 + 4 + 4 + 4.

Dalam bentuk yang lebih gamblang, adanya beragam jawaban dalam sebuah persoalan tampak pada postulat paralel Euclid. Postulat yang juga dikenal sebagai postulat yang kelima ini berbunyi: jika sebuah garis berpotongan dengan dua garis lurus membentuk dua sudut interior pada sisi yang sama dengan jumlah kurang dari jumlah sudut sisi kanannya, maka kedua garis tersebut, jika diperpanjang tak hingga, akan berpotongan satu sama lain dengan jumlah (derajat) sudut lebih kecil dibandingkan jumlah sudut sisi kanannya.

Hal yang menarik dari postulat ini adalah implikasi yang memunculkan geometri non-Euclidan sebagai ’lawan’ dari geometri Euclid yang menganalisa garis lurus. Geometri non-Euclid mendeskripsikan hiperbola dan geometri eliptic(bidang lengkung), dan kehadiran geometri ini tidak serta merta menegasikan bangunan geometri yang ada sebelumnya, melainkan menjadikan geometri menjadi lebih utuh. Salah satu penerapan dari geometri non-Euclid ini tampak pada Teori Relativitas Einstein.

Popularity: 21%

Penelitian mengenai metode belajar matematika berkelompok dilakukan oleh Dwi Priyo Utomo yang mengamati bagaimana mengembangkan pembelajaran kooperatif matematika yang berorientasi pada kepribadian(dominasi) siswa di SD serta bagaimana keefektifan dari pembelajaran tersebut.

Pengamatan yang dilakukan kepada siswa kelas V SD Muhammadiyah 8 Malang tersebut, memakan waktu 32 pertemuan(2 bulan). Penelitian ini dilakukan bertahap, yaitu: penyampaian tujuan dan motivasi siswa, penyampaian materi pelajaran, pengelompokkan siswa, pemberian bimbingan, evaluasi, dan pemberian penghargaan. Pengelompokkan siswa dilakukan dengan memperhitungkan aspek kemampuan akademik, dominasi dan jenis kelamin. Selain itu, Lembar Kerja Siswa(LKS) yang diberikan pada kelompok juga dibuat dengan tingkat kesulitan beragam, mulai dari yang mudah hingga yang memiliki tingkat kesulitan tinggi.

Beberapa hasil refleksi dari penelitian yang dilakukan Utomo adalah soal yang memiliki tingkat kesulitan tinggi mampu memicu timbulnya diskusi/interaksi antar anggota kelompok, diperlukan selang waktu tertentu sedemikian sehingga tiap anggota kelompok memahami persoalan yang dihadapi, serta pemberian penghargaan pada kelompok yang memperoleh poin berdasarkan sumbangan tiap anggotanya(yang diperoleh dari kuis individual).

Keuntungan dari metode belajar berkelompok ini adalah memperkecil rasio antara yang tahu dengan yang tidak tahu. Hal ini dikarenakan dalam kelompok kecil, peranan ’guru’ diambil alih oleh siswa cerdas, sehingga siswa-siswa lainnya dapat bertanya dengan lebih leluasa terhadap teman sebayanya tanpa ada penghalang malu, segan, takut, dll. Bagi siswa cerdas, metode ini juga berdampak positif, karena sebagaimana yang diungkapkan oleh Johnson dan Johnson(1989:5), pembelajaran kooperatif dilakukan untuk mencapai tujuan-tujuan akademik, afektif, dan sosial. Dengan demikian, siswa cerdas dapat melatih kemampuan kognisinya dengan mengerjakan soal-soal tingkat tinggi–yang jarang diperoleh dalam pengajaran konvensional karena mempertimbangkan kemampuan siswa lainnya–sekaligus melatih kemampuan afektifnya dalam suatu lingkungan sosial.

Popularity: 41%

Steve Olson dalam buku Count Down, Six Kid Vie for Glory at the World’s Toughest Math Competition, mengisahkan perbedaan pengajaran matematika di Amerika dengan di Jepang. Berdasarkan penelitian yang dilakukan oleh Stigler sebagai bagian dari program Third International Mathematics and Science Study, ia menemukan kesamaan diantara 81 kaset video yang merekam aktivitas belajar kelas matematika tingkat delapan di Amerika.

Sang guru biasanya memulai dengan mengulas materi-materi yang dibahas kali sebelumnya, seringkali dengan memeriksa pekerjaan rumah. Mereka kemudian menunjukkan cara-cara matematika yang dipelajari hari itu, misalnya mengalikan pecahan atau menghitung luas. Para siswa kemudian diberikan lembar soal berisi latihan-latihan, kemudian para siswa mulai mengerjakannya. Menjelang kelas berakhir, beberapa latihan dibahas dan pekerjaan rumah diberikan (Steve Olson, ’’Count Down”, Gunung Pi).

Pengajaran matematika di Jepang relatif berbeda. Kelas dimulai dengan pengantar singkat, kemudian guru menyajikan satu soal yang cukup sulit dan tidak mengajarkan siswa cara memecahkan soal tersebut. Para siswa lalu mengerjakan sendiri soal tersebut, baik mandiri maupun berkelompok, sambil diawasi oleh guru yang berkeliling untuk melihat berkembangan dan memberikan saran-saran. Setelah sepuluh atau 15 menit, salah seorang siswa diminta untuk mempresentasikan apa yang diperolehnya di depan kelas, dengan masukan dari guru jika siswa tersebut mengalami hambatan.

Cara serupa dilakukan oleh Titu Andreescu, pelatih Tim Olimpiade Amerika asal Rumania. Pada tahun 1994, tak lama setelah Titu menjadi asisten pelatih, keenam anggota tim Amerika meraih nilai penuh atas keenam soal yang diajukan pada Olimpiade di Hongkong. Tahun berikutnya, Titu diangkat menjadi kepala pelatih tim Olimpiade. Pria yang pernah memperkuat Tim Olimpiade Rumania pada tahun 1973 ini, beranggapan pemberian soal yang menantang adalah kunci pendidikan yang berhasil.

Perbedaan pendekatan terhadap pengajaran matematika ini juga berdampak pada cara pandang. ”Di Rumania, ketika orang tahu kau seorang matematikawan, mereka akan bilang, ’Aku dulu pintar matematika.’ Dan yang bicara begitu adalah sopir taksi. ’Matematika adalah pelajaran favoritku.’ Itulah sebabnya tim-tim dari Eropa Timur berhasil dengan baik, karena matematika adalah bagian dari budaya mereka. Di sini(Amerika), guru-guru sekolah dasar dan sekolah menengah banyak yang membenci matematika. Bagaimana bisa mereka mengajar matematika kalau mereka membencinya? Ketika delapan dari sepuluh orang di negeri ini mengetahui bahwa aku adalah matematikawan, mereka bilang, ’Ya ampun, aku amat parah dalam matematika’, ” ujar Titu.

Paul Zeitz, peserta Olimpiade Matematika tahun 1974 dari Amerika, mencoba menerapkan pemberian soal yang menantang pada murid-muridnya. Selama menjadi pengajar matematika selama 5 tahun di sekolah asrama Colorado Springs, Zeitz diberi kebebasan untuk membuat kurikulum. Mengenalkan soal-soal dengan tingkat kesulitan tinggi, menurut Zeitz, mencegah anak-anak cerdas bosan, sekaligus membuat yang lain merasa santai karena tak ada sederet prosedur kaku untuk mengerjakan soal. ”Kau harus berpetualang dan tidak perlu mencemaskan konsekuensinya,” ujarnya.

Popularity: 67%

“Cogito ergo sum.” Saya berpikir, maka saya ada. Begitulah Descartes mengungkapkan makna keberadaaan. Selain kata-katanya yang terkenal itu, Descartes juga dikenal karena koordinat Cartesius. Koordinat ini memperlihatkan bahwa dengan sepasang garis lurus yang berpotongan sebagai garis-garis pengukur, suatu jaringan garis petunjuk dapat disusun, tempat bilangan-bilangan dapat ditaruh sebagai titik. Penerapan dari konsep yang diungkapkan oleh Descartes ini dapat dilihat dalam bentuk grafik, dengan sumbu x dan y.  

Setelah lulus pada tahun 1616 dari ilmu hukum pada Universitas Poitiers, pemuda Perancis ini bermaksud untuk membangun dunia kembali. Ia tidak puas dengan apa yang telah dipelajarinya tentang dunia dari para akademikus yang masih terikat dengan dunia kuno. Pada masa itu, ide-ide baru memang tengah bermunculan, para ksatria mempertahankan harga diri mereka dengan mudah mengayunkan pedang-pedang mereka, negara-negara tengah berlomba-lomba memperoleh daerah jajahan, William Harvey baru saja memberikan kuliah yang menggambarkan jantung manusia bukanlah pusat emosi melainkan pemompa darah.

Dalam pencariannya mencari kebenaran, Descartes menjadi prajurit di bawah Pangeran Nassau di Belanda, kemudian di bawah Pangeran Bavaria di Jerman. Dalam petualangannya menjadi seorang ksatria, Descartes berhasil mengembangkan geometri analitiknya pada usia 22 tahun. Pemahamannya itu ia rumuskan dalam sebuah kamar yang memiliki tungku di tepi sungai Donau. Ia mengajukan prinsip deduktif, yaitu merumuskan sesuatu dari sebuah aksioma yang paling sederhana kemudian dikembangkan terus hingga diperoleh pemahaman yang rigid. 

Seusai masa perang, Descartes muncul sebagai tokoh yang unik. Dengan pedang di sabuk, topi berjambul dan pembicaraan mengenai dunia baru, Descartes menjalankan kehidupannya sehari-hari. Bosan dengan kehidupan di Paris, Descartes pindah ke Belanda. Di sini, Descartes menerbitkan karyanya mengenai Risalah tentang Metode pemikiran yang Benar pada tahun 1637.

Hidup Descartes berakhir pada usia 54 tahun akibat penyakit influenza. Penyakit itu mungkin disebabkan oleh kehidupan kerasnya selama tinggal di Swedia. Meski dijemput dengan kemegahan kapal perang oleh Ratu Chrisitina, Descartes harus rela untuk diseret dari tempat tidur pada pukul 5 hingga 6 pagi tiap harinya. Waktu untuk memberi kuliah pribadi mengenai filsafat kepada Ratu Swedia berkemauan keras tersebut. Padahal selama di Paris, Descartes biasa bangun pukul 11 siang, akibat kondisi kesehatannya yang tidak mendukung.

Popularity: 39%

Komentar di posting Pendidikan Matematika, sedikit menggelitik saya. Mengapa 3 pelajaran dapat menentukan kelulusan seseorang, dan mengapa matematika merupakan salah satu diantara ketiganya? Merujuk pandangan Chomsky akan adanya Language Acquisition Device dalam diri tiap individu yang menyebabkan seorang anak dapat menerima bahasa apa saja yang disampaikan padanya, anak di mana pun memakai strategi yang sama dalam memperoleh bahasa ibunya, dan makhluk selain manusia tidak dapat memperoleh bahasa, mungkin pemilihan bahasa menjadi masuk akal. Lalu bagaimana dengan matematika?

Senada dengan bahasa yang digunakan manusia sebagai medium untuk menyampaikan apa yang ada dalam pikiran, matematika pun merupakan komunikasi untuk menjelaskan semesta. Hanya saja, matematika lebih mirip seperti puisi yang hanya membutuhkan sedikit notasi untuk menjelaskan fenomena fisik. Tak ayal, penikmat matematika menjadi terbatas. Sama halnya ketika seorang yang tidak bisa berbahasa Jerman, tiba-tiba dihadapkan pada sebuah teks Jerman. Ia tahu yang dihadapinya adalah abjad latin yang disusun berdasarkan struktur bahasa Jerman, namun ia tidak mampu memperoleh pemahaman apapun dari teks tersebut.

Pengaruh kebiasaan seseorang terhadap pemahaman matematika diungkapkan oleh Reuben Hersh. Ia memandang matematika bukan sebagai kegiatan fisik ataupun mental, melainkan sosial. Matematika merupakan bagian dari budaya dan sejarah. Matematika serupa dengan hukum, agama, uang, dan lain-lain yang nyata, namun sekaligus hanya sebagai bagian dari kesadaran manusia secara kolektif. Posisi matematika sebagai bagian dari kesadaran manusia secara kolektif ini bisa dilihat dari perjalanan sejarahnya.

Bermula dari peralihan dari mencari makan dengan memburu menjadi bercocok tanam, para petani menghadapi masalah pencatatan hari dan musim, serta pengetahuan tentang banyaknya makanan dan benih yang harus disimpan. Masalah inilah yang melahirkan angka dan menjadi cikal bakal matematika. Selanjutnya, perkembangan matematika sangat dipengaruhi oleh kebutuhan masyarakat.

Karena itu keberadaan matematika dalam Ujian Nasional tak bisa dilihat hanya dari kurikulum, tapi tujuan dari pembelajaran matematika itu sendiri, dan terutama oleh kebutuhan. Jika pada tingkat selanjutnya dibutuhkan kemampuan matematika pada tingkat tertentu, maka keberadaan  matematika menjadi hal lumrah, tapi jika tidak, maka parameter tersebut patut dipertanyakan kembali.

Popularity: 26%

Phi atau dikenal juga dengan nama kaidah emas(golden section) ini dapat diperoleh dari deret Fibonacci, yaitu dengan membagi dua bilangan Fibonacci yang berdekatan setelah 3. Sebagai contoh:
f_1=5/3 ~ 1,666…
f_2=8/5 ~ 1,6
f_3=13/8 ~ 1,625
f_4=21/13 ~ 1,615…
dan seterusnya. Dengan cara lain, kaidah emas 1:1,61803… dapat diperoleh melalui perbandingan sudut segitiga. Pandang a sebagai bagian dari panjang sisi b dan ambil
(b-a)/a=a/b …(1)
maka a merupakan kaidah emas dari panjang b. Dengan mengalikan persamaan (1) dengan b/a, diperoleh:
(b/a)^2 – b/a -1 = 0,
Dengan g=b/a, diperoleh persamaan kuadratik:
g^2-g-1=0
Solusi positif dari persamaan kuadratik di atas adalah g=1/2 + /sqrt(5)/5 ~ 1,61803…

Dengan menerapkan rasio 1:1,616 ini dalam persegi panjang, diperoleh segi empat emas yang menjadi ketakjuban para seniman, ilmuwan, kosmolog ribuan tahun silam. Nama Phi sendiri diambil dari nama Phidias(490-430 SM) yang membuat kuil Parthenon di Athena mengikuti kaidah segi empat emas. Lukisan orang tua karya Leonardo da Vinci juga menggambarkan proporsi yang mengikuti segi empat emas, St. Hironimus, lukisan tak selesai Leonardo Da Vinci sekitar 1483, La Parade karya pelukis impresionis Perancis Georges Seurat, Place de la Concorde, sebuah lukisan abstrak linear karya Piet Mondrian menggunakan kaidah segi empat emas.

NB: yang masih mencari relasi antara keindahan dan matematika

Popularity: 18%

“Pintu masuk menuju pengetahuan akan segala sesuatu,” begitulah Ahmes mendeskripsikan Pi pada 1650 SM. Naskah yang menjadi acuan paling tua mengenai Pi tersebut dituliskan diatas gulungan papirus Kerajaan Tengah. Kertas itu berisi tulisan mengena beragam masalah matematis, beserta semua pemecahannya, dan menjelang akhir gulungan ia menemukan luas sebuah area lingkaran, dengan memanfaatkan sejenis Pi yang masih kasar.

Ratusan tahun sesudahnya, sekitar 200 SM, Archimedes dari Sirakus menemukan bahwa pi adalah sebesar 3 10/71 dan 31/7, sekitar 3,14. Pencarian mengenai angka pi baru dilanjutkan kembali pada abad ke-17, yaitu ketika sebuah rumus baru mengenai pi ditetapkan. Pi kemudian disebut sebagai bilangan Ludolphian(Ludolphine) merujuk pada nama Ludolph van Ceulen yang senyaris sepanjang hidupnya mencari digit dibelakang pi. Pencarian sepanjang hidupnya itu diabadikan dalam pahatan sebanyak 35 digit angka pi pada makamnya. Hingga saat ini pencarian akan pi masih terus berlangsung. Chudovnsky bersaudara melanjutkan pencarian digit pi dengan membangun superkomputer di apertemennya dengan komponen-komponen yang dikirim via pos.

Apa yang menjadikan Pi begitu ajaib?

Popularity: 14%

Pada suatu hari sepasang kelinci melahirkan sepasang kelinci lagi. Pasangan kelinci yang baru lahir ini juga melahirkan pasangan kelinci ketika telah berusia dua bulan. Pasangan kelinci-kelinci ini melahirkan pasangan kelinci tiap bulan. Dengan memandang, pasangan-pasangan ini hidup abadi, diperolehlah deret yang dikenal dengan deret Fibonacci.

Bulan 1: 1
Bulan 2: 2
Bulan 3: 3
Bulan 4: 5
Bulan 5: 8
Bulan 6: 13
dan seterusnya. Secaraumum, deret ini bisa diperoleh dengan menjumlahkan dua bilangan sebelumnya: a_(n)=a_(n-1)+a_(n-2)

Di alam, deret Fibonacci yang berdekatan ini dapat ditemui pada spiral aster, yaitu 21 untuk spiral kearah kanan(searah jarum jam), dan 34 untuk spiral kearah kiri. Beberapa tanaman yang juga memiliki spiral dengan deret Fibonacci adalah runjung tusam(5:8) dan nanas(8:13). Selain di alam, deret Fibonacci juga ditemukan pada arsitektur-arsitektur klasik seperti kuil Parthenon.

Adalah Leonardo Fibonacci atau juga dikenal dengan Leonardo dari Pisa yang memperkenalkan deret ini. Leonardo(1170-1250) dikenal luas karena menyebarkan sistem penomeran Hindu-Arab di Eropa melalui buku Liber Abaci.

Popularity: 45%