Matematika

Dengan adanya teori kementakkan, kejadian-kejadian yang pada mulanya terlihat sebagai satuan terpisah kini dapat kita lihat sebagai sebuah elemen dalam jaring-jaring kehidupan. Contoh yang dapat kita temui sehari-hari adalah membludaknya sinetron remaja di layar kaca. Hal ini tak lain disebabkan oleh adanya survey–yang biasanya diserahkan ke lembaga independen seperti AC Nielsen—untuk menentukan acara seperti apa yang meraih rating tertinggi. Peluang untuk meraih iklan sebanyak-banyaknya menjadi sedemikian bergantung dengan tren yang berlangsung pada saat itu. Hal ini tergambar dari anjloknya beberapa film idealis yang berusaha menyajikan warna baru, seperti Cau Bau Kan, Pasir Berbisik, Eliana Eliana dll.

Rating, peluang yang kecil memang bukan segala-galanya. Meski peluang seorang menang dalam permainan dadu hanya 1/6(dari skala 1), ia tetap saja dapat menang. Artinya, meski angka diatas kertas menunjukkan peluang yang sangat kecil, tetap saja ada kemungkinan untuk berhasil. Sama halnya dengan formula yang digunakan para sineas saat ini, bisa saja pada suatu titik para penonton muak dengan segala tema remaja dan beralih pada genre drama serius. Peluang kecil yang ditangkap oleh seorang sineas idealis, dan kemudian menjadi laku keras. Ada beberapa penjelasan jika hal tersebut terjadi, pertama sineas yang mengambil genre berbeda dengan budaya massa melihat ada lahan yang belum tergarap. Kedua, sineas tersebut sudah melihat kejenuhan penonton pada sajian dengan tema yang berkutat pada masalah baik-jahat, kaya-miskin, dendam-pemaaf, sehingga ia memperoleh peluang yang lebih besar untuk sukses.

Pengaruh teori kementakkan dalam kehidupan sehari-hari cukup besar. Terlepas dari kekeraskepalaan para penjudi yang tidak mempedulikan kecilnya peluang mereka untuk menang, teori kementakkan telah membuat terobosan dalam membakukan hal-hal yang dulunya dianggap sebagai kebetulan. Teori kementakkan yang berawal dari meja judi, kini tidak terbatas pada sebuah permainan tapi juga meliputi kemungkinan-kemungkinan lain seperti, peluang seorang salah menelepon, rumah Anda terkena bom, membeli makanan yang kadaluarsa, lama umur seseorang dll. Kemungkinan-kemungkinan yang dibakukan dalam persamaan-persamaan mungkin terbatas. Namun dengan mempelajari teori kementakkan kita dapat belajar menaklukkan dunia, yakni memprediksi konsekuensi apa yang akan kita hadapi berkaitan dengan pilihan yang kita ambil.

Popularity: 15%

Penelitian yang dilakukan oleh Pascal dan Fermat di tengah pelbagai situasi perjudian memunculkan teori kementakan(cabang matematika mengenai kemungkinan, keteramalan dan peluang) modern, yakni hukum-hukum peluang. Namun besarnya peluang seseorang menang ataupun kalah, tampaknya tidak pernah menyurutkan keinginan manusia untuk mempertaruhkan uangnya pada setumpuk kartu atau dadu. Meski berangkat dari sebuah pengamatan atas permainan kartu yang melibatkan kemungkinan-kemungkinan, teori kementakkan berkembang pesat dengan merambah wilayah-wilayah keuangan, asuransi, perbankan dll. Perkembangan teori kementakan ini juga mempengaruhi kepercayaan manusia terhadap hal-hal yang sepintas terlihat secara kebetulan. Seperti meletusnya kerusuhan di Indonesia pada tahun 1997-1998 yang sudah diprediksi oleh para ahli yang menggunakan Chaos Theory.

Masuknya sains, khususnya matematika ke wilayah-wilayah yang belum terjamah, seperti pada kejadian-kejadian alam, penyebaran penyakit, naik turunnya mata uang memberikan sebuah pandangan baru, yaitu semua yang terjadi di dunia ini tidak terjadi secara kebetulan. Penggunaan teori kementakan ini mencapai kondisi ideal pada saat komponen-komponen yang diandaikannya tidak berubah. Misalnya ketika kita mengamati kurva tumbuh bakteri. Parameter yang mempengaruhi bakteri dapat mencapai pertumbuhan maksimum antara lain adalah faktor makanan dan lingkungan yang mendukung. Dari kondisi ideal tersebut, kita sudah memiliki rumusan baku, namun ketika kondisi ideal tersebut tidak tercapai, misalnya makanan yang tersedia tidak mencukupi, maka akan ada penyimpangan dari kurva tumbuh bakteri yang normal.

Adanya pandangan bahwa dunia ini bisa dimengerti dan diprediksi sejalan dengan kata-kata Einstein, “Satu-satunya hal yang tidak dapat dimengerti mengenai alam semesta adalah bahwa ia dapat dimengerti.” Hukum-hukum alam menunggu untuk tersingkap dan kesemuanya merupakan sebuah bukti adanya Sang Arsitek yang merencanakan semua. Hal ini juga sejalan dengan pandangan Platonis, bahwa matematika sudah ada dalam dunia ide. Para matematikawan yang menganut pandangan Platonis diantaranya adalah Penrose, Poincare dan Gauss.   

Popularity: 12%

Diambil dari bahasa Latin, reducto ad absurdum memiliki arti reduksi ke kemustahilan. Proses pembuktian menggunakan cara ini adalah dengan menunjukan suatu pernyataan adalah mustahil, maka haruslah pernyataan kebalikanyalah yang benar. Misalkan ada dua buah pernyataan, yaitu semua anjing adalah binatang (1) dan semua anjing harus makan dan tidur(2). Kemudian disusun dua premis lagi yaitu beberapa anjing menyalak terus menerus (3)(kebalikan dari pernyataan yang akan dibuktikan) dan anjing yang menyalak terus menerus tidak dapat makan atau tidur(4). Kedua premis terakhir ketika dideduksikan menjadi beberapa anjing tidak makan ataupun tidur. Kesimpulan ini bertentangan dengan premis bahwa semua anjing harus makan dan tidur. Karena itu haruslah ada premis yang salah.

Dari keempat premis yang di atas, premis (1) merupakan definisi. Definisi yang baik memiliki beberapa ciri berikut: jelas, tepat, memiliki satu makna; hanya menggunakan istilah dasar atau yang telah ada sebelumnya; konsisten; dan jangkauannya cukup luas. Sebagai definisi, kebenaran premis tersebut merupakan bentuk dari kesepakatan. Premis (2) sedikit lebih rumit, kebenarannya bergantung pada pengetahuan terhadap makhluk hidup, khususnya anjing. Untuk mematahkan premis (2), cukup cari satu anjing yang tidak harus makan atau tidur(cukup menunjukkan tidak memenuhi salah satu). Kata terus menerus pada premis ketiga cukup mencurigakan. Sedangkan premis (4) merupakan implikasi logis, bahwa kegiatan menyalak tidak dapat dibarengi dengan makan atau tidur.

Dengan demikian ada dua premis yang memiliki potensi salah yaitu (2) dan (3). Dari pengetahuan biologi yang saya miliki, saya memilih premis (3) yang salah. Bagaimana dengan Anda?

NB: lawan dari semua adalah terdapat suatu

Popularity: 13%

Dari manakah datangnya inspirasi? Kisah Archimedes dengan Eurecha-nya ketika tengah berendam di tengah mandi, atau apel Newton yang menginspirasinya mengenai konsep gravitasi telah menjadi legenda kedatangan inspirasi yang tak disangka-sangka. Begitu pula pelukis dan perupa yang mencari inspirasi dengan cara tak biasa. Lalu apa yang membedakan mereka, apakah keberhasilan merupakan buah keberuntungan?

Pertanyaan mengenai inspirasi sering saya temui di forum-forum menulis. Bagaimana memperoleh inspirasi, kondisi-kondisi seperti apa yang memancing proses kreatif, dan mengalirnya ide? Pertanyaan serupa juga bisa ditanyakan pada para ilmuwan yang memiliki cara sendiri dalam menggali ide. Dosen matematika saya melakukannya dengan mendengarkan musik, Descartes memperoleh ilham dengan mengamati tungku api, dan ada teman saya yang mencari ide dengan berjalan-jalan. Ide-ide itu kemudian ditangkap dalam berbagai wujud. Perupa dalam pahatan atau lukisan, ilmuwan dalam kata-kata puitis matematika, dan pemusik dalam simfoni yang indah.

Bagi masing-masing profesi, tiap sumber inspirasi memiliki penafsiran tersendiri. Kalaupun sebuah momen menjadi titik keberhasilan, maka itu hanyalah sebuah akumulasi dari potensi yang dimiliki. Seperti kisah batu besar yang pecah karena hanya sentuhan ringan. Bukan sentuhan itu yang menjadikan batu tersebut hancur, melainkan akumulasi dari tumbukan-tumbukan sebelumnya. Sehingga pemicu yang sama bisa memiliki penafsiran berbeda bagi tiap orang. Apel bagi Newton bisa menjadi inspirasi bagi kelahiran teori yang mengagumkan, tapi bagi saya mungkin hanya jadi santapan yang renyah.

Popularity: 12%

Ada beberapa metode yang acap digunakan dalam matematika, salah satunya adalah induksi. Secara sederhana, induksi merupakan proses penarikan kesimpulan dari elemen-elemen penyusunannya. Misalnya, Acha membutuhkan makanan, Betha membutuhkan makanan, …, Zetha membutuhkan makanan. Acha, Betha, … Zetha merupakan manusia. Kesimpulannya manusia membutuhkan makanan.

Dalam bentuk formal, pembuktian menggunakan induksi mengikuti langkah-langkah berikut:

Misalkan P(n) adalah suatu pernyataan tentang bilangan asli n. Kebenaran P(n) untuk semua bilangan asli n dibuktikan dengan menunjukan
i) P(1) benar, dan
ii) Andaikan P(n) benar, maka P(n+1) juga benar

Popularity: 19%

Apa yang pertama kali Anda pikirkan ketika mendengarkan matematika? Kemarin dalam perbincangan dengan beberapa dosen, terdapat kisah menarik bagaimana mereka dapat menyukai matematika yang sama sekali tak ada kaitannya dengan angka. Buku-buku ajar Belanda adalah salah satunya. Berbeda dengan buku ajar sekarang yang lebih banyak berkiblat pada Amerika dengan sistem latihan soal, menurut dosenku, buku-buku dari Belanda lebih banyak berisi cerita. Bahkan prinsip matematika bisa diturunkan dengan sebuah prinsip saja, sisanya adalah improvisasi dan imajinasi.

Apa yang diungkapkan dosen saya tersebut, mengingatkan saya pada film-film mengenai matematika yang menghiasi televisi. Visualisasi yang ditayangkan pada film-film itu ketika menggambarkan proses berpikir menyajikan matematika dalam bentuk yang hidup. Hal yang mungkin menyebabkan John Nash tak bisa berhenti memikirkan angka-angka yang ada di dalam benaknya. Begitupula cerita dosen matematika saya, yang ketika diminta belanja oleh ibunya untuk belanja ke pasar menggunakan medium pasir untuk melakukan perhitungan karena lintasan ide yang muncul di kepalanya.

Saya sendiri baru menyadari hal tersebut ketika menginjak tingkat terakhir di matematika. Untuk membuktikan konvergensi, saya membayangkan dapat menangkap sebuah bilangan dengan cara menjepitnya. Cara ini juga digunakan dalam numerik untuk mencari sebuah bilangan, yaitu dengan membagi area menjadi bagian-bagian kecil yang dilakukan terus menerus hingga bilangan yang dicari dapat ditemukan.

Popularity: 13%

Salah satu hal yang menyenangkan dalam matematika adalah imajinasi. Cukup ambil sejumput ide, kemudian susun aksioma yang mendukung ide tersebut, maka jadilah sebuah dimensi yang mengekalkan ide-idemu. Imajinasi itu pula yang mungkin membawa John Nash pada dunia miliknya sendiri. Kode-kode rahasia yang terus membayangi benaknya seolah nyata, atau membawa Rene Descartes pada pengembaraannya menjadi prajurit dan berbusana sesuai yang diinginkannya tanpa mengindahkan pikiran orang. Serupa dunia Harry Potter yang abai terhadap gravitasi ataupun materi, namun memiliki hukum-hukumnya sendiri.

Memang, dalam dimensi tertentu, aksioma-aksioma menjadi baku. Karena itu, matematika kerap dikategorikan ilmu pasti yang memungkinkan semuanya ditelusuri mengikuti logika tertentu. Tak perlu orang lain, ujar dosen saya pada suatu waktu, cukup dirimu sendiri untuk membuktikan sebuah pernyataan dalam matematika benar atau salah. Tentu saja, untuk sampai pada tahap itu pemahaman bahasa mutlak kau perlukan. Pencapaian yang harus melewati jalan berliku, hingga jika tengah jenuh, saya sering menempatkan matematika seperti pelajaran sejarah. Pelajari soal-soal yang telah ada, bagaimana pemecahannya, dan jika beruntung, maka soal yang sama akan menyapamu kembali di ujian berikut.

Popularity: 15%

“Tidak ada persoalan yang akhirnya tidak dapat direduksikan menjadi bilangan.”

(Auguste Comte)

Berhitung dianggap sebagai salah satu kemampuan dasar yang harus dimiliki manusia, selain membaca dan menulis. Sejarah umat manusia menunjukan bahwa sejak dulu, manusia telah mengenal beragam alat bantu hitung, seperti jari, sipoa, mesin penambah buatan Pascal, mesin perkalian Babbage, tulang-tulang Napier, kalkulator hingga komputer yang kian bertambah canggih dari waktu ke waktu.

Pada zaman Yunani kuno, orang telah menggunakan alat mekanis kuno. Hal ini terungkap dari penemuan nelayan pada tahun 1900 yang menemukan alat serupa komputer kuno yang telah berusia 2000 tahun di daerah Laut Aegea. Di beberapa daerah pedalaman, penggunaan alat bantu hitung masih sebatas pada apa yang ada pada tubuh mereka, seperti yang dilakukan oleh orang Sibil yang hanya mampu menghitung sampai 27 dengan mengkombinasikan anggota tubuhnya. Jari tangan kanan untuk menunjuk jari tangan kiri melambangkan notasi 1-5, pergelangan tangan kiri, lengan bawah, siku, otot, lengan, tulang selangka, bahu, telinga, dan mata menunjuk 6 hingga 13. hidung menunjuk 14. Sisi kanan badan mulai dari mata hingga jari kelingking menunjuk angka 15 hingga 27.

Lain jari lain sipoa. Pada sipoa Jepang, orang menghitung dengan menggeser manik ke batang pemisah. Nilai manik ditentukan menurut batang tempat letaknya. Manik paling kanan bernilai 1, disebalahnya 10,100, dan yang terakhir 1000. di atas batang pemisah, manik pada batang dari kanan ke kiri bernilai 5, 50, 500, dan 5000. manik yang berwarna menunjukkan bilangan di sebelah kanan.

Sekarang? Excell, Maple, dkk tampaknya merupakan pilihan menarik

Popularity: 17%

Bagaimana pengalaman pertama Anda mengenal angka? Lidi, buah, kelereng? Jika ya, pengalaman Anda tak jauh berbeda dari bangsa Mesir dan Maya kuno yang menotasikan satu, dua, tiga, … yang kita kenal sekarang dengan garis, seperti yang tampak pada angka-angka Mesir di bawah.

Bangsa Maya, melakukan hal serupa, namun hanya hingga empat, lambang bilangan lima dinotasikan dengan sebuah garis horizontal. Begitupula angka Romawi yang masih sering digunakan hingga saat ini, yaitu penggunaan garis vertikal hingga tiga, I, II, III yang kemudian dilanjutkan dengan kombinasi dari berbagai huruf-huruf yang telah dikenal. Kelemahan dari sistem Romawi ini menurut saya adalah kerumitannya, karena tiap kali sampai pada bilangan besar tertentu, muncul sebuah huruf baru yang harus dihapal, seperti 5(V), 10(X), …(M), dan seterusnya. Hal ini tidak berlaku jika kita menggunakan sistem desimal yang disusun dari 10 huruf dasar, 1,2,3,4,5,6,7,8,9,0.

Ditilik dari sejarahnya, angka tak serta merta muncul menggunakan bilangan-bilangan besar. Beberapa suku bangsa kuno, menggunakan dasar 2 untuk perhitungan: 1, 2, 2-1, 2-2, 2-2-1 dan seterusnya. Bangsa yang lain menggunakan dasar 3: 1, 2, 3, 3-1, 3-2,3-3, 3-3-1, dan seterusnya. Penggunaan dasar ini kemudian berkembang seiring kebutuhan manusia menggunakan bilangan-bilangan besar, seprti dalam pertanian dan pembangun. Perluasan bilangan dasar menjadi 20 dilakukan merujuk pada jumlah tangan dan kaki manusia, sebagai alat bantu paling sederhana yang ada di tubuh manusia. Sistem bilangan dasar 20 ini masih tercermin dalam kata-kata Perancis untuk 80 dan 90, yaitu ”quatrevingt”(empat duapuluh) dan ”quatre-vingt-dix”(empat duapuluh sepuluh).

Kredit gambar: URL: http://www.noisefactory.co.uk/maths/history/hist003.html

Popularity: 21%

Apa yang Anda pikirkan ketika melihat alien? Curiga, penasaran, atau kagum? Pilihan terakhir berlaku bagi saya ketika masuk ke Studi Pembangunan. Tiap kali ada hitungan, persamaan diferensial, atau persamaan-persamaan pasti saya yang kena. Padahal matematika berbeda dengan kalkulator. Kalaupun ada persamaan, itu adalah cara untuk mencari menghitung yang efisien, seperti mencari jumlah 1+2+3+…+100 dengan memasangkan bilangan terbesar dan terkecil, (100+1)+(99+2)+…+(51+50)=101*50=5050.

Memang selalu ada kekaguman ketika menyaksikan sesuatu yang tak bisa dilakukan. Lukisan realis dengan perpaduan warna yang pas, simfoni musik yang menghanyutkan, serta film yang mengharu biru, membuncahkan secercah rasa kagum pada penciptanya. Namun hal ini menjadi berbahaya ketika dilepaskan pada realitas. Terutama terhadap alien tersasar yang satu ini.

Popularity: 13%