Matematika

Dalam acara pembukaan Konferensi Matematika dan Statistika antara Indonesia-Malaysia, Prof. Dr. Maman A. Djauhari mengungkapkan lemahnya pendidikan matematika di Indonesia karena tidak mengajarkan atau memberi latar belakang ilmu matematika dengan filsafat. Maman yang juga merupakan Guru Besar ITB, sekaligus presiden Moslem Society of Mathematics-Statistics in South East Asia ini melanjutkan keterpisahan antara matematika dengan filsafat ini menyebabkan lemahnya interpretasi siswa atas sebuah persoalan matematika.

Dalam tulisannya yang berjudul ‘Kepastian Itu Mahal’ di Jurnal Sosioteknologi, Maman mengungkapkan “learning truly begins when we have a solid understanding of the basic. Learning is not compulsary… neither is survival.” Apa yang diungkapkan profesor bidang statistika ini tepat menggambarkan bagaimana kehidupan ini berjalan: penuh ketidakpastian dan bagaimana kenyataan disusun di atas ketidakpastian. Dalam permainan kartu misalnya, mahalnya kepastian ini diartikan dalam taruhan. Namun bukankah kehidupan kita penuh dengan ketidakpastian. Pandang probilitas sesuatu dengan alpha, maka peluang untuk tidak mendapatkan hal tersebut adalah (1-alpha). Angka ketidakpastian ini akan berubah menjadi 1 pasca kejadian (t). Dan bagaimana kita memilih diantara ketidakpastian-ketidakpastian tersebut yang membentuk kurva logistik?

Post to: delicious, Digg, ma.gnolia, Stumbleupon

Realistic Mathematics Education (RME) merupakan pengajaran matematika yang bertumpu pada aktivitas manusia. Dalam RME, belajar matematika artinya mengerjakan matematika. Aih-alih hanya melihat konsep, melalui RME murid diharapkan dapat mere-konstruksi pemahaman mengenai matematika dengan cara mereka sendiri, dan bukan sekadar tempelan informasi yang diperoleh dari guru. Adanya internalisasi sekaligus berimplikasi pada perubahan relasi murid-guru yang mulanya berjalan satu arah menjadi interaktif.

Salah satu contoh penerapan RME adalah dalam pengajaran geometri di sekolah dasar. Jika dulu kita diperkenalkan pada konsep ruang melalui panjang dan lebar, maka kini konsep tersebut dapat diperumum dengan memperkenalkan konsep-konsep harga, berat dan gelas yang terisi. Relasi antara ukuran tidak terbatas pada sebuah bentuk ‘rapih’, namun pada bagaimana logika menyusun relasi antara keduanya. Hal yang penting dalam konsep belajar ini adalah cara menyusun keterkaitan dan konsistensi. Sebagai ilustrasi adalah satuan suhu yang digunakan di berbagai negara. Celcius, fahrenheit, kelvin, reamur. Dengan memahami transformasi antara satu satuan dengan satuan lainnya, dengan mudah kita dapat memahami perbedaan satuan yang digunakan. Begitupula dengan belajar mengenai paramater (ukuran), hal yang penting adalah menyusun logika untuk parameter yang kita gunakan.

Adanya proses internalisasi ini sekaligus memungkinkan murid memiliki cara sendiri dalam memecahkan masalah, tidak seperti apa yang diajarkan oleh guru. Dengan adanya kemungkinan ini, guru pun posisinya mnjadi tak jauh berbeda dengan murid, karena harus senantiasa belajar dan mengapresiasi kreativitas murid. Dan untuk implementasi di lapangan, rasio guru dan murid juga menjadi angka yang harus dipertimbangkan.

Post to: delicious, Digg, ma.gnolia, Stumbleupon

Apakah gambar bisa dikategorikan sebagai abstrak? Seorang rekan pernah bertanya pada saya, apa kesenangan dari membuktikan rumus terutama jika tidak terkait langsung dengan fenomena fisik? Sampai detik ini saya belum tahu jawabannya. Satu-satunya penjelasan yang masuk akal mungkin karena kita adalah homo luden, makhluk bermain. Jadi meski kadang ketika menurunkan sebuah persamaan, kita sama sekali tidak tahu apa representasinya dalam dunia fisik, namun ada kesenangan dalam mengotak-atik persamaan. Dalam bentuk yang lebih umum, permainan ini kita temui dalam olahraga, catur, monopoli dan berbagai kegiatan lainnya yang dilakukan benar-benar untuk kesenangan. Pertanyaannya apakah matematika menyenangkan?

Kalau menurut survey, mungkin dengan segera saya akan mendapatkan jawaban tidak. Simbol-simbol matematika terlalu abstak untuk dapat dikategorikan menyenangkan. Berbeda dengan kartu UNO misalnya, yang tujuannya untuk menghabiskan kartu di tangan secepat mungkin, atau permainan monopoli yang melibatkan pemikiran bagaimana memperoleh uang sebanyak-banyaknya. Jika dibandingkan dengan kedua permainan itu, bagaimana matematika dapat menjadi menyenangkan? Apakah soal cerita akan membantu, misalnya dengan membuat teka-teki mengenai pembagian kue atau penjumlahan berbagai pecahan yang direpresentasikan dalam benda-benda fisik? Seiring meningkatnya permintaan, mungkin perumpamaan-perumpamaan tersebut harus dibarengi dengan program semisal Mapple, agar para peserta didik dapat melihat bagaimana konsep integral digunakan dan divisualisasikan.

Dengan adanya teknologi dan program, mungkin matematika menjadi lebih mudah dipahami. Namun itu tetap tidak menjawab pertanyaan rekan saya: apa senangnya mengoprek sesuatu yang belum tentu ada gunanya? Bolehkah saya membela diri bahwa Thomas Alfa Eddison juga membuat puluhan kegagalan sebelum akhirnya berhasil? Atau ada jawaban lain?

Post to: delicious, Digg, ma.gnolia, Stumbleupon

Cara asyik untuk menyukai matematika adalah dengan mengunjungi tokoh-tokoh matematika, dan membaca keseharian mereka. Salah satu tokoh yang menarik adalah John Baez (klik). Beliau merupakan matematikawan fisikawan yang membahas tentang kategori-n. Tapi dibalik kecanggihannya di bidang matematika, hal yang menarik dari blog-nya adalah kemanusiaannya. Kadang kita melhat matematikawan sebagai sosok yang berbeda, meski memang ada yang berbeda seperti John Nash yang mengidap skizofrenia atau Alan Turing yang gay, namun dengan melihat keseharian matematikawan, kita juga bisa meliat bahwa mereka manusia biasa dengan segenap ketertarikan pada segala hal. Contohnya adalah hukum pertama blogging karya Baez ini: t= 24-T, dengan t adalah waktu untuk blogging (dalam satuan jam), dan T adalah waktu non-blogging.

Halah!! Ada-ada saja Mr. Baez ini, tapi sebagai matematikawan semuanya bisa dijelaskan dengan jernih. Berbicara mengenai peluang juga tidak berbeda jauh. Kita bisa menuliskan peluang dengan x, dengan x anggota (0,1) dan kian lama terbiasa dengan notasi formal, pola pikir kita juga akan kian rapih.

Jadi mana yang sebab dan mana yang akibat: matematikawan biasa berpikir runut, atau karena biasa berpikir runut jadi matematikawan?

Post to: delicious, Digg, ma.gnolia, Stumbleupon

Teman saya membahas buku Matematika untuk anak-anak yang menarik di sini. Ulasan dalam sebuah blog pribadi bisa menjadi unik karena tiap orang memiliki sisi personalnya dalam sebuah buku dan teman saya itu membuat ulasannya menjadi personal. Dan karena membaca ulasan tersebut saya jadi berpikir, apakah momok matematika itu muncul karena kurangnya buku matematika yang asyik, atau memang benar-benar susah? Hihi, sebagai seorang sarjana matematika saya mengaku bahwa kadangkala buku tidak terlalu membantu, memang ada bagian-bagian dari matematika yang sulit. Hal itulah yang membedakan sarjana dan jenius seperti Turing, Nash, Neumann, Descartes, Gauss dan matematikawan tersohor lainnya. Tapi untuk tingkat tertentu, matematika benar-benar dipengaruhi buku.

Konsep mengenai nol yang dibahas di buku itu misalnya, akan ditemui di mata kuliah matematika tingkat dua. Darimana munculnya angka? Seperti apa konsep angka nol? Bagaimana menciptakan angka?

Untuk yang punya anak SD, mari berburu buku asyik, seperti yang disarankan teman saya di blognya. Buat yang senang math, buku ini juga tampaknya asyik

Post to: delicious, Digg, ma.gnolia, Stumbleupon

Dua penumpang sepeda berangkat dari selatan dan utara yang terpisah sejauh 20 mil untuk saling bertemu di suatu titik, masing-masing dengan kecepatan rata-rata 10 mil per jam. Pada waktu bersamaan, seekor lalat yang sedang melaju dengan kecepatan tetap 15 mil per jam berangkat dari roda depan sepeda yang menuju selatan, terbang menuju rode depan sepeda yang menuju utara. Sesampai di tujuan, lalat itu langsung kembali lagi ke roda depan sepeda yang menuju selatan, begitu seterusnya sampai lalat tersebut mati terjepit di antara kedua roda sepeda itu ketika akhirnya bertemu.

Berapa jarak total yang ditempuh oleh lalat tersebut?

Teka-teki yang diajukan kepada John Von Neumann

Post to: delicious, Digg, ma.gnolia, Stumbleupon

Dalam pelajaran makro ekonomi yang saya peroleh, ada teori yang menarik, yaitu Game Theory. Beberapa tokoh pengembang gagasan ini adalah John Von Neumann dan John Nash. Salah satu bentuk dari permainan ini adalah zero-sum yaitu keadaan dimana pemenang memperoleh semuanya. Lawannya adalah non-zero sum yang memungkinkan terjadinya koalisi antara sesama pemain, dan kondisi akhirnya tidak akan biner. Hal yang menarik dalam mempelajari teori-teori ini adalah pentingnya kekuatan imajinasi. Contoh yang cukup sering digunakan adalah permainan poker, atau mungkin permainan chapsa. Dalam permainan poker, seorang pemain mengetahui kartunya (ada beberapa variasi poker yang memungkinkan lawan dapat mengetahui beberapa kartu kita) namun tidak kartu lawannya. Inti permainan adalah dalam memprediksi kartu lawan, dan menilai seberapa bagus kartu yang kita miliki mulai dari royal flush, straight flush, four of a kind, full house, double double dsb. Hal yang menarik dari permainan ini adalah bagaimana kita menentukan strategi atas ketidaktahuan kartu lawan, dan peluang bahwa kartu kita adalah yang terbaik?

Dalam ekonomi, Game Theory ini juga digunakan dalam menentukan pemasangan iklan. Misalkan sebuah terdapat beberapa perusahaan telepon genggam, berapa kemungkinan perusahaan tersebut tidak memasang iklan? Dalam kenyataan kita bisa melihat bahwa pertandingan iklan di antara sesama penjual telepon genggam akan terus terjadi untuk menarik konsumen. Hal ini terjadi sejalan dengan perubahan teknologi yang juga terus melaju kencang. Padahal dengan melakukan koalisi atau regulasi tertentu, ‘belanja’ iklan tidak perlu menghabiskan anggaran besar-besaran. Akhirnya, masing-masing pihak akan membentuk kesetimbangannya sendiri, yang dapat terus dinegosiasikan.

Saya merasakan bahwa kunci dari belajar matematika terletak pada kebebasan pikiran kita untuk menguji berbagai gagasan yang mungkin. Selain di Game Theory, hal ini saya temukan ketika belajar teori antrian. Misalnya berapa waktu yang diperlukan seseorang dalam mengantri di Bank yang sistemnya First In First Out, apa yang terjadi jika tellernya ada tiga, bagaimana peluang seseorang yang masih harus menunggu konvensional–bukan menggunakan nomor antrian. Semuanya jadi benar-benar kembali pada kekuatan logika, sebagaimana yang diisyaratkan oleh Nash

Post to: delicious, Digg, ma.gnolia, Stumbleupon

Sebagian besar pengunjung blog yang tersasar ke blog ini adalah para pecinta dan pengajar matematika, namun dari komen yang masuk, ada juga yang tidak suka dengan matematika. Dengan melihat pola orang-orang yang tersasar ke blog ini, saya jadi mulai meresapi kata-kata Shakespeare lebih dalam, “The one you love, is the one you hate.” Hanya ada batasan tipis antara suka dan benci karena kedua-duanya menimbulkan aksi, salah satunya adalah dengan mengetikkan kata di mesin pencari dan sampai ke blog ini

Hal yang membuat saya tergelitik adalah bagaimana mengajarkan anak-anak agar menyukai matematika? Momok apa yang sebenarnya membuat matematika menjadi mata pelajaran yang menakutkan? Apakah karena ada perbedaan bahasa: dalam percakapan kita menggunakan A-Z, sedangkan dalam matematika selain menggunakan 0-9, kita juga menggunakan konsep integral, sigma, diferensial, optimasi dan notasi-notasi lainnya, atau karena matematika abstrak?

Tapi apa yang dimaksud dengan abstrak? Misalkan ketika kita pertama kali belajar perkalian. Pendekatan yang biasanya digunakan adalah menggunakan tabel perkalian. Kita menghapal 9 x 9 =81, 7 x 6=42, tapi apakah konsep dari perkalian tersebut juga turut diajarkan? Tante saya pernah protes karena anaknya disalahkan karena mengartikan 3 x 4 sebagai ada 3 bilangan 4, dan bukannya ada 4 bilangan 3. Padahal sifat dari operasi kali adalah komutatif!!!! Belum lagi kalau mau mengulik esensi dari bilangan itu sendiri, apa yang dimaksud dari 3? Potongan lidi sebanyak 3 buah (dan ini sebenarnya akan membentuk looping karena muncul lagi konsep mengenai 3) atau ada konsep yang ditanamkan erhadap materi lidi? Akhirnya ilustrasi menggunakan benda-benda material akan menghambat kreativitas yang ada di matematika itu sendiri, meski tetap perlu.

Saat ini sudah ada banyak piranti lunak yang mendukung visualisasi matematika, seperti matlab, mapple, mathematica. Dengan menggunakan piranti lunak tersebut, visualisasi dari luas daerah dibawah kurva bisa diperoleh dengan baik. Tapi pembuktian formal tetap dilandaskan pada logika. Seperti ketika menggunakan postulat Euclid dalam pelajaran geometri. Mungkin harus ada tahapan-tahapan antara bermain, alat peraga dan free your imagination. Contoh penerapan logika yang sederhana adalah untuk mematahkan argumen semua kuda berwarna hitam, cukup tunjukan satu kuda berwarna putih maka proposisi tersebut akan batal.

Pusing ya? Hihi, jangan just free your mind and play

Post to: delicious, Digg, ma.gnolia, Stumbleupon

 Beberapa minggu ini saya sedang senang mencari relasi antara matematika dan sosial. Kalau dalam matematika, terdapat konsep mengenai aksioma atau postulat, yaitu pernyataan yang diasumsikan benar tanpa perlu dibuktikan. Berbeda dengan teori yang bisa dibuktikan dengan menggunakan induksi, aksioma tidak bisa dibuktikan. Hal yang seringkali menjadi pertanyaan adalah mengapa aksioma dapat bekerja dengan baik dalam teori?

Hal serupa bisa ditanyakan dalam ilmu sosial, adakah sebuah konsep yang berlaku secara umum? Misalnya, semua orang adalah baik. Berangkat dengan aksioma tersebut, bisa disusun peraturan yang mengatur hubungan antara manusia. Meski tiap daerah memiliki kebiasaannya masing-masing, namun dengan adanya aksioma universal, maka bisa dibuat transformasi-transformasi yang menyebabkan satu budaya bisa berelasi dengan budaya lainnya. Sebagai ilustrasi adalah penggunaan satuan pada temperatur. Dengan adanya kesepakatan, seseorang yang menggunakan satuan Celcius dapat mentransformasikannya menjadi Kelvin.

Tapi tetap saja yang menjadi pertanyaan adalah apakah sistem matematika tersebut ada di alam ideal atau merupakan konstruksi?

Post to: delicious, Digg, ma.gnolia, Stumbleupon

Apa perbedaan angka dan bilangan? Pada umumnya kita mengenal bilangan dengan menggunakan angka yang berbentuk seperti lingkaran, tongkat, bebek, mulut kucing (?) … dan seterusnya. Tapi bagaimana menjelaskan bilangan? Misalkan Anda memiliki sebuah angka, sebutlah angka satu. Dengan membaginya menjadi dua, Anda akan memperoleh, kemudian jika dibagi lagi berturut-turut Anda akan memperoleh 0,5; 0,25; 0,125; 0,0625 dan seterusnya. Konsep dalam kepala Anda akan dapat terus membagi konsep bilangan satu, sedangkan bilangan yang digunakan untuk menjelaskan bilangan tersebut akan kian memanjang.

Contoh lain lagi adalah dengan membagi konsep satu menajdi tiga bagian, kemudian buang bagian tengahnya. Lakukan hal tersebut hingga angka satu tersebut habis. Mungkinkah Anda dapat melakukannya?

Post to: delicious, Digg, ma.gnolia, Stumbleupon