Matematika

Dalam pelajaran makro ekonomi yang saya peroleh, ada teori yang menarik, yaitu Game Theory. Beberapa tokoh pengembang gagasan ini adalah John Von Neumann dan John Nash. Salah satu bentuk dari permainan ini adalah zero-sum yaitu keadaan dimana pemenang memperoleh semuanya. Lawannya adalah non-zero sum yang memungkinkan terjadinya koalisi antara sesama pemain, dan kondisi akhirnya tidak akan biner. Hal yang menarik dalam mempelajari teori-teori ini adalah pentingnya kekuatan imajinasi. Contoh yang cukup sering digunakan adalah permainan poker, atau mungkin permainan chapsa. Dalam permainan poker, seorang pemain mengetahui kartunya (ada beberapa variasi poker yang memungkinkan lawan dapat mengetahui beberapa kartu kita) namun tidak kartu lawannya. Inti permainan adalah dalam memprediksi kartu lawan, dan menilai seberapa bagus kartu yang kita miliki mulai dari royal flush, straight flush, four of a kind, full house, double double dsb. Hal yang menarik dari permainan ini adalah bagaimana kita menentukan strategi atas ketidaktahuan kartu lawan, dan peluang bahwa kartu kita adalah yang terbaik?

Dalam ekonomi, Game Theory ini juga digunakan dalam menentukan pemasangan iklan. Misalkan sebuah terdapat beberapa perusahaan telepon genggam, berapa kemungkinan perusahaan tersebut tidak memasang iklan? Dalam kenyataan kita bisa melihat bahwa pertandingan iklan di antara sesama penjual telepon genggam akan terus terjadi untuk menarik konsumen. Hal ini terjadi sejalan dengan perubahan teknologi yang juga terus melaju kencang. Padahal dengan melakukan koalisi atau regulasi tertentu, ‘belanja’ iklan tidak perlu menghabiskan anggaran besar-besaran. Akhirnya, masing-masing pihak akan membentuk kesetimbangannya sendiri, yang dapat terus dinegosiasikan.

Saya merasakan bahwa kunci dari belajar matematika terletak pada kebebasan pikiran kita untuk menguji berbagai gagasan yang mungkin. Selain di Game Theory, hal ini saya temukan ketika belajar teori antrian. Misalnya berapa waktu yang diperlukan seseorang dalam mengantri di Bank yang sistemnya First In First Out, apa yang terjadi jika tellernya ada tiga, bagaimana peluang seseorang yang masih harus menunggu konvensional–bukan menggunakan nomor antrian. Semuanya jadi benar-benar kembali pada kekuatan logika, sebagaimana yang diisyaratkan oleh Nash

Popularity: 1%

Sebagian besar pengunjung blog yang tersasar ke blog ini adalah para pecinta dan pengajar matematika, namun dari komen yang masuk, ada juga yang tidak suka dengan matematika. Dengan melihat pola orang-orang yang tersasar ke blog ini, saya jadi mulai meresapi kata-kata Shakespeare lebih dalam, “The one you love, is the one you hate.” Hanya ada batasan tipis antara suka dan benci karena kedua-duanya menimbulkan aksi, salah satunya adalah dengan mengetikkan kata di mesin pencari dan sampai ke blog ini

Hal yang membuat saya tergelitik adalah bagaimana mengajarkan anak-anak agar menyukai matematika? Momok apa yang sebenarnya membuat matematika menjadi mata pelajaran yang menakutkan? Apakah karena ada perbedaan bahasa: dalam percakapan kita menggunakan A-Z, sedangkan dalam matematika selain menggunakan 0-9, kita juga menggunakan konsep integral, sigma, diferensial, optimasi dan notasi-notasi lainnya, atau karena matematika abstrak?

Tapi apa yang dimaksud dengan abstrak? Misalkan ketika kita pertama kali belajar perkalian. Pendekatan yang biasanya digunakan adalah menggunakan tabel perkalian. Kita menghapal 9 x 9 =81, 7 x 6=42, tapi apakah konsep dari perkalian tersebut juga turut diajarkan? Tante saya pernah protes karena anaknya disalahkan karena mengartikan 3 x 4 sebagai ada 3 bilangan 4, dan bukannya ada 4 bilangan 3. Padahal sifat dari operasi kali adalah komutatif!!!! Belum lagi kalau mau mengulik esensi dari bilangan itu sendiri, apa yang dimaksud dari 3? Potongan lidi sebanyak 3 buah (dan ini sebenarnya akan membentuk looping karena muncul lagi konsep mengenai 3) atau ada konsep yang ditanamkan erhadap materi lidi? Akhirnya ilustrasi menggunakan benda-benda material akan menghambat kreativitas yang ada di matematika itu sendiri, meski tetap perlu.

Saat ini sudah ada banyak piranti lunak yang mendukung visualisasi matematika, seperti matlab, mapple, mathematica. Dengan menggunakan piranti lunak tersebut, visualisasi dari luas daerah dibawah kurva bisa diperoleh dengan baik. Tapi pembuktian formal tetap dilandaskan pada logika. Seperti ketika menggunakan postulat Euclid dalam pelajaran geometri. Mungkin harus ada tahapan-tahapan antara bermain, alat peraga dan free your imagination. Contoh penerapan logika yang sederhana adalah untuk mematahkan argumen semua kuda berwarna hitam, cukup tunjukan satu kuda berwarna putih maka proposisi tersebut akan batal.

Pusing ya? Hihi, jangan just free your mind and play

Popularity: 9%

 Beberapa minggu ini saya sedang senang mencari relasi antara matematika dan sosial. Kalau dalam matematika, terdapat konsep mengenai aksioma atau postulat, yaitu pernyataan yang diasumsikan benar tanpa perlu dibuktikan. Berbeda dengan teori yang bisa dibuktikan dengan menggunakan induksi, aksioma tidak bisa dibuktikan. Hal yang seringkali menjadi pertanyaan adalah mengapa aksioma dapat bekerja dengan baik dalam teori?

Hal serupa bisa ditanyakan dalam ilmu sosial, adakah sebuah konsep yang berlaku secara umum? Misalnya, semua orang adalah baik. Berangkat dengan aksioma tersebut, bisa disusun peraturan yang mengatur hubungan antara manusia. Meski tiap daerah memiliki kebiasaannya masing-masing, namun dengan adanya aksioma universal, maka bisa dibuat transformasi-transformasi yang menyebabkan satu budaya bisa berelasi dengan budaya lainnya. Sebagai ilustrasi adalah penggunaan satuan pada temperatur. Dengan adanya kesepakatan, seseorang yang menggunakan satuan Celcius dapat mentransformasikannya menjadi Kelvin.

Tapi tetap saja yang menjadi pertanyaan adalah apakah sistem matematika tersebut ada di alam ideal atau merupakan konstruksi?

Popularity: 11%

Apa perbedaan angka dan bilangan? Pada umumnya kita mengenal bilangan dengan menggunakan angka yang berbentuk seperti lingkaran, tongkat, bebek, mulut kucing (?) … dan seterusnya. Tapi bagaimana menjelaskan bilangan? Misalkan Anda memiliki sebuah angka, sebutlah angka satu. Dengan membaginya menjadi dua, Anda akan memperoleh, kemudian jika dibagi lagi berturut-turut Anda akan memperoleh 0,5; 0,25; 0,125; 0,0625 dan seterusnya. Konsep dalam kepala Anda akan dapat terus membagi konsep bilangan satu, sedangkan bilangan yang digunakan untuk menjelaskan bilangan tersebut akan kian memanjang.

Contoh lain lagi adalah dengan membagi konsep satu menajdi tiga bagian, kemudian buang bagian tengahnya. Lakukan hal tersebut hingga angka satu tersebut habis. Mungkinkah Anda dapat melakukannya?

Popularity: 22%

Penelitian yang diketuai oleh Janet S. Hyde menganalisa kinerja sekitar 7 juta siswa kelas 2-11 di 10 negara bagian. Dari penelitian mereka, terungkap bahwa dari tingkat 2-11 tersebut tidak ada perbedaan gender dalam keahlian matematika. Berita selengkapnya bisa dibaca ScienceNOW Daily News tanggal July 24, 2008. Ketika kuliah dulu juga, siswa perempuan dan laki relatif sama. Begitupula dengan komposisi dosen. Hal yang cukup berbeda adalah jika kita melihat referensi buku di perpustakaan atau membaca sejarah matematika. Sangat jarang menemukan matematikawan perempuan, dan dalam posisi yang cukup signifikan seperti Euclid, Russel, Whitehead. Saya belum melihat ke daftar penerima Field, tapi dari beberapa tahun yang saya amati juga keberadaan matematikawan perempuan ini masih terbilang langka.

Apakah ini disebabkan pada zaman dahulu perempuan tidak memiliki kesempatan yang sama selayaknya laki-laki atau karena struktur otak tertentu? Komposisi serupa saya temui dikalangan programmer yang didominasi kaum adam. Apakah ini kebetulan?

Popularity: 19%

Pada tanggal 24-27 Juli 2008 telah diselenggarakan Konferensi Nasional Matematika XIV dan Konggres Matematika Indonesia di Universitas Sriwijaya Palembang. Salah satu hal yang digarisbawahi dalam konferensi itu adalah peran matematika di masa depan. ”Matematika merupakan pondasi yang perlu ditanamkan sejak dini. Kalau sejak dini siswa tak suka matematika, maka mereka tidak akan pernah suka matematika”, kata Presiden IndoMS, Prof. Dr. Edi Tri Baskoro. Kenyataan ini telah mendorong timbulnya gerakan pendidikan matematika realistik yang mengutamakan metode pembelajaran matematika berangkat dari realitas pengetahuan sehari-hari.

Bagaimana dengan Anda, apakah matematika sudah menjadi bagian dari realita kehidupan Anda? Mulai dari bangun pagi, ketika Anda memutuskan untuk melakukan serangkaian kegiatan, otak Anda tanpa sadar sudah melakukan serangkaian iterasi yang jika diterjemahkan dalam bahasa program akan menghasilkan baris yang tidak sedikit. Belum lagi hitung-hitungan pertambahan dan pengurangan ketika Anda membayar angkotan kota. Seiring dengan meningkatnya kompleksitas kerjaan Anda, matematika juga akan hadir dengan bentuk yang penuh dengan simbol. Integral, differensial, perhitungan luas daerah dibawah kurva dan sebagainya. Agregasi kegiatan ekonomi yang membentuk kurva. Bilangan pi, deret…

Ah, ekstase…

Popularity: 25%

Mana yang lebih tahan lama: angka atau visual? Saya cukup kesulitan menghapal nomor sandi bagi beberapa gembok, namun tidak demikian ketika cara mengingatnya dengan tampilan visualnya. Hal yang sama berlaku untuk melihat mana yang janggal dalam sebuah data agregat statistika: lebih mudah mengubahnya dalam sebuah kurva, kemudian melihat mana data-data pencilan–direpresentasikan dengan titik-titik diluar kurva. Kelekatan antara visual dengan makna acap saya temui dalam presentasi yang lebih sering menyajikan grafik, alih-alih tabel. Apakah kita memang lebih peka terhadap visual?

Ketika belajar geometri sense dibangun melalui gambar. Namun dalam pembuktian, tetap saja diperlukan persamaan-persamaan formal. Di alam, relasi antara angka dan visual juga terjadi secara ilmiah. Apakah ini ada kaitannya dengan cara kerja otak kita?

Popularity: 24%

Bagaimana menentukan kinerja sebuah jejaring? Secara kuantitatif, kinerja jejaring dapat dilihat dengan mengamati pertumbuhannya. Salah satu hukum mengenai pertumbuhan jejaring adalah Hukum Metcalfe yang sanggahan mengenai hukum ini bisa dilihat di sini. Namun yang lebih sulit adalah bagaimana menilai sebuah jejaring secara kualitatif.

Misalkan Anda memiliki jejaring lulusan SMA, sebutlah jejaring alumni SMA. Secara kuantitatif, jejaring ini akan terus berkembang dengan kian banyaknya murid yang lulus dari SMA, namun bagaimana Anda dapat mengetahui kualitas dari jejaring tersebut? Jawaban ini akan sangat berharga seandainya Anda adalah seorang pemasar atau sedang membutuhkan kerja. Bagaimana Anda menjual sesuatu dengan menggunakan jejaring yang Anda miliki? Salah satu cara yang bisa Anda lakukan adalah dengan membuat cluster. Bagaimana tipe umum pangsa pasar yang sesuai dengan produk yang akan Anda turunkan.

Misal A adalah seluruh himpunan alumni SMA, maka ada subhimpunan-subhimpunan yang menyajikan kecendrungan pada hal-hal tertentu, dan kian besar irisannya, peluang keberhasilan pemasarannya akan kian tinggi.

Popularity: 23%

Kemarin saya baru bertemu dengan dosen matematika. Dalam perbincangan di angkutan kota, ia mengisahkan bagaimana lulusan matematika kerap merasa malu dengan status jurusannya. Menanggapi penuturan tersebut, saya mengisahkan pengalaman berbeda ketika bertemu dengan orang asing, pada umumnya lulusan matematika dianggap prestisius. Terlepas dari citra matematika, apa yang membuat matematika tetap bertahan?

Salah satu kaitannya mungkin bisa dilihat dari perkembangan IT. Saat ini Vietnam menjadi incaran para investor asing di bidang IT karena kemampuan matematikanya selain upah pekerja yang murah. Kekuatan matematika di Vietnam bisa ditelusuri lagi pada masa perang di Vietnam yang menyebabkan banyak orang pintar di sana memilih untuk melanjutkan pendidikan di luar negeri. Kurang lebih dua puuh tahun yang lalu, Vietnam telah memiliki puluhan doktor matematika yang ketika kondisi sudah aman kembali ke negaranya dan mulai membangun. Dampaknya terasa sekarang dimana perekonomian mendapat efek berganda dari apa yang dilakukan puluhan tahun silam.

Hal serupa juga dapat diamati di India yang memiliki akar matematika kuat, hingga melahirkan tokoh seperti Ramanujan. Saat ini Bangalore sering diaju sebagai the next Silicon Valley. Bagaimana dengan Indonesia? Tiap kali ujian sekolah, mateatika kerap menghiasi halaman pertama media nasional. Sayangnya bukan dalam pemberitaan positif. Label momok atau apalah dilekatkan pada matematika. Kira-kira cara apa ya yang dapat membuat pengajaran matematika menyenangkan?

Popularity: 28%

Pernah berkenalan dengan statistika? Ketika kuliah matematika, bagian statistika yang paling saya sukai adalah permainan peluang. Misalkan berapa peluang Anda memperoleh bola merah dari ember berisi bola merah sebanyak 2 buah dan bola biru sebanyak  3 kali? Pertanyaan bisa kian kompleks jika kita menambahkan persyaratan-persyaratan tertentu, seperti berapa peluang Anda menang melawan teman Anda untuk memperoleh bola biru dua kali berturut-turut.

Ilmu statistika menjadi agak sedikit lebih rumit dalam pembahasan mengenai sistem antrian. Dalam sistem antrian, kedatangan seseorang, perkiraan tenggat selesai, sistem Fisrt In First Out, bottle neck membuat perhitungan lebih rumit. Sistem ini juga digunakan dalam mengatur lalu lintas kereta, dan juga jaringan telepon. Namun hal yang lebih rumit lagi dalam statistika adalah ketika ia bertemu dengan ilmu sosial.

Dalam pemberian nilai misalnya, salah satu pendekatan yang sering digunakan adalah distribusi normal. Namun distribusi ini bisa bermasalah dalam menghadapi standar minimal tertentu. Dalam salah satu mata kuliah di matematika, distribusi normal ini gagal diterapkan dalam mata kuliah Aljabar Linier dan Analisis Real :D, hingga tahun-tahun berikutnya biasanya kelas menjadi penuh.

Dalam menjelaskan kemiskinan, penetapan indikator juga bermasalah. Bagaimana menilai bahwa sesuatu itu baik atau buruk? Angka yang besar mungkin saja menentukan bahwa sesuatu itu baik, seperti banyaknya orang yang terserap kerja misalnya. Namun angka ini masih harus mendapat verifikasi dari metode pengumpulan data yang di gunakan. Benarkah sampel yang digunakan dilakukan di komunitas yang homogen?

Popularity: 33%